kary: 2011

martes, 20 de diciembre de 2011

COMO GRAFICAR EN MATLAB

COMO GRAFICAR EN MATLAB

Una de las funciones más importantes en Matlab es la función plot . Plot también parece ser una de las más sencillas funciones para aprender a usar. La sintaxis básica de la función es escribir el siguiente comando en la ventana de comandos del Matlab o en un archivo-m.

plot(x,y)

Este comando ploteará los elementos del vector x en el eje horizontal de una figura, y los elementos del vector y en el eje vertical de la figura. Por defecto, cada vez que se use el comando plot , se borrará la figura que estaba, quedando solo la nueva; discutiremos cómo forzar esto más abajo. Si quisiéramos graficar la sencilla fórmula lineal:

y=3x

Deberíamos crear un archivo-m con las siguientes líneas de código:

x = 0:0.1:100;

y = 3*x;

plot(x,y)

lo que generará la figura siguiente,

Una cosa a tener en cuenta cuando se usa el comando plot es que los vectores x e y deben ser la misma longitud. La otra dimensión puede variar. Matlab puede graficar un vector 1 x n versus un vector n x 1, ó un vector 1 x n versus una matriz 2 x n , (obtendrá dos líneas), el largo n es el mismo para ambos vectores.
El comando plot puede también usarse con solamente un vector como entrada o parámetro. En ese caso las columnas del vector se grafican versus sus índices (el vector 1:1:n se usará para el eje horizontal). Si el vector de entrada contiene números complejos, Matlab dibuja la parte real de cada elemento (en el eje x) versus la parte imaginaria (en el eje y).

Se puede graficar más de una función en la misma figura. Digamos que quisiera graficarlas ondas seno y coseno en el mismo conjunto de ejes, usando diferentes colores y marcadores para cada una. Puede usarse el siguiente archivo-m para lograrlo:

x = linspace(0,2*pi,50);

y = sin(x);

z = cos(x);

plot(x,y,'r', x,z,'gx')

Obtendrá la figura siguiente de las ondas seno y coseno, con el seno en rojo sólido y el coseno en verde con cruces:

La Estética de los Gráficos

El color y el marcador de un gráfico se pueden cambiar agregando un tercer parámetro (entre apóstrofo 'esto') al comando plot . por ejemplo, para graficar la función de arriba con una línea punteada roja , debería cambiarse el archivo-m a:

x = 0:0.1:100;

y = 3*x;

plot(x,y,'r:')

viernes, 9 de diciembre de 2011

SISTEMAS DE OPERACIONES LINEALES

UNIVERSIDAD TECNICA DE COTOPAXI

Nombre: Karina Mendoza

SISTEMAS DE OPERACIONES LINEALES

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

$\left \{ \begin{array}{rcrcrcr} 3 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & \,x_3 & = & 1 \\ 2 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & 4 \,x_3 & = & -2 \\ - \,x_1 & + & \frac{1}{2} \,x_2 & - & \,x_3 & = & 0 \end{array} \right .$

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

$\begin{matrix} a_{11}x_1 & + a_{12}x_2 & + \dots & + a_{1n}x_n & = b_1 \\ a_{21}x_1 & + a_{22}x_2 & + \dots & + a_{2n}x_n & = b_2 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}x_1 & + a_{m2}x_2 & + \dots & + a_{mn}x_n & = b_m \end{matrix}$

Donde $x_1,\dots,x_n\,$ son las incógnitas y los números $a_{ij}\in\mathbb{K}$ son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo $\mathbb{K}\ [= \R, \mathbb{C}, \dots]$ . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

Sistemas lineales reales

En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo $\R$ , es decir, los sistemas lineales en los coeficientes de las ecuaciones son números reales.

La intersección de planos que son planoque no son paralelos ni coincidentes es una recta.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.

Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

jueves, 8 de diciembre de 2011

OPERACIONES CON POLINOMIOS

UNIVERSIDAD TECNICA DE COTOPAXI

NOMBRE: KARINA MENDOZA

OPERACIONES CON POLINOMIOS

SUMA DE POLINOMIOS

En matemáticas , se le llama polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es un producto de un coeficiente y una variable elevado a un número natural, que se llama el exponente del monomio.

Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x². Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.

Dados los polinomios $\scriptstyle P(x),\ Q(x),\ R(x)$ , de la forma general:

$P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^{2} + a_3 x^{3} + \dots + a_n x^n \,$

o de forma compacta mediante el Sumatorio de los términos del polinomio:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$

podemos definir como operaciones con polinomios, las operaciones aritméticas o algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, según la operación de que se trate.
Partiendo de un polinomio $\scriptstyle P(x)$ , el cálculo del valor numérico que ese polinomio toma para un valorconcreto de $\scriptstyle x$ , $\scriptstyle x\ =\ b$ , se obtiene sustituyendo la variable

x

del polinomio por el valor

b

y se realizan las operaciones. El resultado de

P (b)

es valor numérico del polinomio para $\scriptstyle x\ =\ b$ . En el caso general:

$P(x) = a_0 x^{0} + a_1 x^{1} + \cdots + a_n x^n$

tomará un valor para

x = b

, de:

$P(b) = a_0 b^{0} + a_1 b^{1} + \cdots + a_n b^n$

Ejemplo:

Dado el polinomio:

$P(x) = 3 x^{2} - 4x + 5 \;$

cual es su valor para

x = 2

, sustituyendo x por su valor, tenemos:

$P(2) = 3\cdot 2^{2} - 4\cdot 2 + 5$

Con el resultado de:

$P(2) = 9 \;$

RESTA DE POLINOMIOS
Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la suma. En la EXPLICACIÓN de cada ejemplo lo mostraré resuelto de las tres maneras.

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x² + x −

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Partiendo de un polinomio P(x), el producto de este polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes de los del polinomio se ha multiplicado por k.
Si el polinomio es:

Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicación de potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos de las dos maneras.

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \, x^{i}$

Y lo multiplicamos por k:

$k \cdot P(x) = k \cdot \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \, x^{i}$

Dando lugar a:

$k \cdot P(x) = \sum_{i = 0}^{n} k \cdot a_{i} \, x^{i}$

Ejemplo:

Partiendo del polinomio:

$P(x) = 2 \, x^{4} + 5 \, x^{3} - 6 \, x^{2} + 7 \, x + 1$

Lo multiplicamos por 3,

$3 \cdot P(x) =3 \cdot ( 2 \, x^{4} + 5 \, x^{3} - 6 \, x^{2} + 7 \, x + 1)$

Operando con los coeficientes:

$3 \cdot P(x) =( 3 \cdot 2) \, x^{4} + ( 3 \cdot 5) \, x^{3} - ( 3 \cdot 6) \, x^{2} + ( 3 \cdot 7) \, x + ( 3 \cdot 1)$

Y tenemos como resultado:

$3 \cdot P(x) = 6 \, x^{4} + 15 \, x^{3} - 18 \, x^{2} + 21 \, x + 3$

esta operación también puede expresarse del siguiente modo:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & 2x^4 & +5x^3 & -6x^2 & +7x & +1 \\ \times & & & & & 3 \\ \hline & 6x^4 & +15x^3 & -18x^2 & +21x & +3 \end{array}$

DIVICION DE POLINOMIOS
La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética, así hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) que podemos representar:

$P(x) \,$		$Q(x) \,$
$R(x) \,$		$C(x) \,$

tal que:

$P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,$

dividendo = divisor × cociente + resto

El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).

ejemplo:

veamos un ejemplo para:

$P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, x - 3\;$

$Q(x) = x^{2} - 2 \, x - 1 \;$

que para la realización de la división representamos:

$\begin{array}{rl} \begin{array}{rrrrr} 3x^4 & -2x^3 & +4x^2 & +2x & -3 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrr} x^2 & -2x & -1 \\ \hline \end{array} \end{array}$

como resultado de la división finalizada:

$\begin{array}{rl} \begin{array}{rrrrr} 3x^4 & -2x^3 & +4x^2 & +2x & -3 \\ -3x^4 & +6x^3 & +3x^2 & & \\ \hline 0 & 4x^3 & +7x^2 & +2x & -3 \\ & -4x^3 & +8x^2 & +4x & \\ \hline & 0 & 15x^2 & +6x & -3 \\ & & -15x^2 & +30x & +15 \\ \hline & & & +36x & +12 \end{array} & \begin{array}{|rrr} x^2 & -2x & -1 \\ \hline 3x^2 & +4x & +15 \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \end{array} \end{array}$

viernes, 18 de noviembre de 2011

COMO ESCRIBIR MATRICES EN MATLAB

Matrices en Matlab

Para introducir una matriz en Matlab se procede de la forma siguiente. Si por ejemplo tenemos la matriz

A =

1 2 3 4

5 6 7 8

se introduce como:

>>A=[1 2 3 4; 5 6 7 8]

A =

1 2 3 4

5 6 7 8

O bien,

>>A=[1,2,3,4;5,6,7,8];

Observemos que unas matrices especiales son los vectores, de esta forma, el vector fila v = (1.0, 1.1,1.2,1.3, . . . ,

1.9,2.0), se escribe en Matlab como

>>v=[1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2.0]

EJEMPLO DE ESCALAR, VECTORES, MATRICES

martes, 15 de noviembre de 2011

TODAS LAS CONSULTAS DE METODOS NUMERICOS

UNIVERSIDAD TECNICA DE COTOPAXI

NOMBRE: KARINA MENDOZA
DOCENTE: ING. WILSON RUALES

QUE ES MATLAB

MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es un software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Está disponible para las plataformas Unix, Windows y Apple Mac OS X.

Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario (GUI) y la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. El paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que expanden sus prestaciones, a saber, Simulink (plataforma de simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de usuario - GUI). Además, se pueden ampliar las capacidades de MATLAB con las cajas de herramientas (toolboxes); y las de Simulink con los paquetes de bloques (blocksets).

Es un software muy usado en universidades y centros de investigación y desarrollo. En los últimos años ha aumentado el número de prestaciones, como la de programar directamente procesadores digitales de señal o crear código VHDL.

QUE ES DERIVE

Derive es uno de los llamados "Programas de Cálculo Simbólico", que podemos definir como programas para ordenadores personales (PC) que sirven para trabajar con matemáticas usando las notaciones propias (simbólicas) de esta ciencia. Así, en un programa de cálculo simbólico el número ‘pi' se trata como tal, a diferencia de muchas calculadoras que consideran sólo una aproximación (3'1415...).

Los programas de cálculo simbólico son capaces de hacer derivadas, integrales, límites, y muchas otras operaciones matemáticas. Suelen tener capacidades gráficas (representación de curvas y funciones) y, por supuesto, capacidades numéricas que suplen sobradamente a la mejor de las calculadoras.

Naturalmente, los segundos miembros de las igualdades del gráfico anterior, tomado de una pantalla de Derive, han sido calculados directamente por el programa y, además, en unas décimas de segundo.

Derive es uno de esos programas de cálculo simbólico, quizá el más difundido y popular porque en su modalidad más sencilla (Derive para DOS ‘classic') funcionaba en cualquier PC, sin necesidad de que tuviera disco duro y ocupaba sólo un diskette. Hoy, Derive 6 sigue siendo un "pequeño" programa, que ocupa poco más de 3 Mb, y que sigue siendo muy accesible e intuitivo.

Siempre ha sorprendido que siendo tan sencillo tenga una gran potencia y versatilidad, por lo que es idóneo para iniciarse con este tipo de programas. Derive es el programa preferido en el ámbito docente, en la enseñanza secundaria y en los primeros años de Universidad, porque es muy fácil de utilizar, de modo que la ‘informática' se supera muy pronto y, por tanto, es casi inmediato empezar a trabajar con ‘matemáticas'.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Vamos a cambiar la notación en la que DERIVE presenta los resultados. Abre el menú Definir y elige las opciones de Preferencias de Salida. En el primer campo (correspondiente a Notación) elige la opción Scientific y confirma pulsando Sí en la parte inferior. También puedes reducir el número de decimales a 6.

METODOS NUMERICOS

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El curso consiste en la aplicación de los métodos numéricos a la solución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones; además es una alternativa para la solución de integrales y diferenciales, mediante la implementación en un lenguaje de computación de los algoritmos correspondientes a los métodos numéricos estudiados.

En el curso se reúnen las reflexiones sobre los cursos tradicionales de cálculo, álgebra lineal y ecuaciones diferenciales, entre otros, desde el punto de vista numérico, concretadas en un conjunto de métodos o algoritmos cuyo estudio y uso son fundamentales en las áreas de

Ingeniería y ciencias.

La evidencia sobre el desempeño de experiencia estará dado por: el resultado obtenido en los exámenes parciales, la asistencia, la entrega de tareas, problemarios y programas de cómputo, que sean entregados oportunamente, ordenados, legibles y completos que tengan una presentación adecuada, correspondientes a cada uno de los temas abordados durante el taller.

CÁLCULOS DE LAS AREAS ENTRE DOS CURVAS

Analicemos las distintas situaciones que se pueden plantear en el cálculo de áreas de regiones planas

Situación 3.El área a calcular está comprendida entre la gráfica de dos funciones positivas.

Situación 4. El área a calcular está limitada por las gráficas de dos funciones pero se encuentra en el semiplano negativo.

Situación 2. La función es negativa

Situación 5. Cálculo de áreas
subdividiéndola en sectores.

Situación 6. Cálculo de áreas integrando respecto a la variable y.

Cálculo de áreas

Para calcular el área que queda determinada entre dos curvas debemos:
1) Hallar las intersecciones de las funciones que delimitan el recinto del que se desea calcular el área.
2) Dividir el intervalo total en subintervalos utilizando como extremos las abscisas u ordenadas de las intersecciones halladas según corresponda.
3) Integrar dentro de cada subintervalo para obtener cada subárea.