kary: OPERACIONES CON POLINOMIOS

UNIVERSIDAD TECNICA DE COTOPAXI

NOMBRE: KARINA MENDOZA

OPERACIONES CON POLINOMIOS

SUMA DE POLINOMIOS

En matemáticas , se le llama polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es un producto de un coeficiente y una variable elevado a un número natural, que se llama el exponente del monomio.

Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x². Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.

Dados los polinomios $\scriptstyle P(x),\ Q(x),\ R(x)$ , de la forma general:

$P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^{2} + a_3 x^{3} + \dots + a_n x^n \,$

o de forma compacta mediante el Sumatorio de los términos del polinomio:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$

podemos definir como operaciones con polinomios, las operaciones aritméticas o algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, según la operación de que se trate.
Partiendo de un polinomio $\scriptstyle P(x)$ , el cálculo del valor numérico que ese polinomio toma para un valorconcreto de $\scriptstyle x$ , $\scriptstyle x\ =\ b$ , se obtiene sustituyendo la variable

x

del polinomio por el valor

b

y se realizan las operaciones. El resultado de

P (b)

es valor numérico del polinomio para $\scriptstyle x\ =\ b$ . En el caso general:

$P(x) = a_0 x^{0} + a_1 x^{1} + \cdots + a_n x^n$

tomará un valor para

x = b

, de:

$P(b) = a_0 b^{0} + a_1 b^{1} + \cdots + a_n b^n$

Ejemplo:

Dado el polinomio:

$P(x) = 3 x^{2} - 4x + 5 \;$

cual es su valor para

x = 2

, sustituyendo x por su valor, tenemos:

$P(2) = 3\cdot 2^{2} - 4\cdot 2 + 5$

Con el resultado de:

$P(2) = 9 \;$

RESTA DE POLINOMIOS
Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la suma. En la EXPLICACIÓN de cada ejemplo lo mostraré resuelto de las tres maneras.

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x² + x −

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Partiendo de un polinomio P(x), el producto de este polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes de los del polinomio se ha multiplicado por k.
Si el polinomio es:

Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicación de potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos de las dos maneras.

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \, x^{i}$

Y lo multiplicamos por k:

$k \cdot P(x) = k \cdot \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \, x^{i}$

Dando lugar a:

$k \cdot P(x) = \sum_{i = 0}^{n} k \cdot a_{i} \, x^{i}$

Ejemplo:

Partiendo del polinomio:

$P(x) = 2 \, x^{4} + 5 \, x^{3} - 6 \, x^{2} + 7 \, x + 1$

Lo multiplicamos por 3,

$3 \cdot P(x) =3 \cdot ( 2 \, x^{4} + 5 \, x^{3} - 6 \, x^{2} + 7 \, x + 1)$

Operando con los coeficientes:

$3 \cdot P(x) =( 3 \cdot 2) \, x^{4} + ( 3 \cdot 5) \, x^{3} - ( 3 \cdot 6) \, x^{2} + ( 3 \cdot 7) \, x + ( 3 \cdot 1)$

Y tenemos como resultado:

$3 \cdot P(x) = 6 \, x^{4} + 15 \, x^{3} - 18 \, x^{2} + 21 \, x + 3$

esta operación también puede expresarse del siguiente modo:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & 2x^4 & +5x^3 & -6x^2 & +7x & +1 \\ \times & & & & & 3 \\ \hline & 6x^4 & +15x^3 & -18x^2 & +21x & +3 \end{array}$

DIVICION DE POLINOMIOS
La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética, así hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) que podemos representar:

$P(x) \,$		$Q(x) \,$
$R(x) \,$		$C(x) \,$

tal que:

$P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,$

dividendo = divisor × cociente + resto

El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).

ejemplo:

veamos un ejemplo para:

$P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, x - 3\;$

$Q(x) = x^{2} - 2 \, x - 1 \;$

que para la realización de la división representamos:

$\begin{array}{rl} \begin{array}{rrrrr} 3x^4 & -2x^3 & +4x^2 & +2x & -3 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrr} x^2 & -2x & -1 \\ \hline \end{array} \end{array}$

como resultado de la división finalizada:

$\begin{array}{rl} \begin{array}{rrrrr} 3x^4 & -2x^3 & +4x^2 & +2x & -3 \\ -3x^4 & +6x^3 & +3x^2 & & \\ \hline 0 & 4x^3 & +7x^2 & +2x & -3 \\ & -4x^3 & +8x^2 & +4x & \\ \hline & 0 & 15x^2 & +6x & -3 \\ & & -15x^2 & +30x & +15 \\ \hline & & & +36x & +12 \end{array} & \begin{array}{|rrr} x^2 & -2x & -1 \\ \hline 3x^2 & +4x & +15 \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \end{array} \end{array}$

kary

jueves, 8 de diciembre de 2011

OPERACIONES CON POLINOMIOS

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