kary: diciembre 2011

martes, 20 de diciembre de 2011

COMO GRAFICAR EN MATLAB

COMO GRAFICAR EN MATLAB

Una de las funciones más importantes en Matlab es la función plot . Plot también parece ser una de las más sencillas funciones para aprender a usar. La sintaxis básica de la función es escribir el siguiente comando en la ventana de comandos del Matlab o en un archivo-m.

plot(x,y)

Este comando ploteará los elementos del vector x en el eje horizontal de una figura, y los elementos del vector y en el eje vertical de la figura. Por defecto, cada vez que se use el comando plot , se borrará la figura que estaba, quedando solo la nueva; discutiremos cómo forzar esto más abajo. Si quisiéramos graficar la sencilla fórmula lineal:

y=3x

Deberíamos crear un archivo-m con las siguientes líneas de código:

x = 0:0.1:100;

y = 3*x;

plot(x,y)

lo que generará la figura siguiente,

Una cosa a tener en cuenta cuando se usa el comando plot es que los vectores x e y deben ser la misma longitud. La otra dimensión puede variar. Matlab puede graficar un vector 1 x n versus un vector n x 1, ó un vector 1 x n versus una matriz 2 x n , (obtendrá dos líneas), el largo n es el mismo para ambos vectores.
El comando plot puede también usarse con solamente un vector como entrada o parámetro. En ese caso las columnas del vector se grafican versus sus índices (el vector 1:1:n se usará para el eje horizontal). Si el vector de entrada contiene números complejos, Matlab dibuja la parte real de cada elemento (en el eje x) versus la parte imaginaria (en el eje y).

Se puede graficar más de una función en la misma figura. Digamos que quisiera graficarlas ondas seno y coseno en el mismo conjunto de ejes, usando diferentes colores y marcadores para cada una. Puede usarse el siguiente archivo-m para lograrlo:

x = linspace(0,2*pi,50);

y = sin(x);

z = cos(x);

plot(x,y,'r', x,z,'gx')

Obtendrá la figura siguiente de las ondas seno y coseno, con el seno en rojo sólido y el coseno en verde con cruces:

La Estética de los Gráficos

El color y el marcador de un gráfico se pueden cambiar agregando un tercer parámetro (entre apóstrofo 'esto') al comando plot . por ejemplo, para graficar la función de arriba con una línea punteada roja , debería cambiarse el archivo-m a:

x = 0:0.1:100;

y = 3*x;

plot(x,y,'r:')

viernes, 9 de diciembre de 2011

SISTEMAS DE OPERACIONES LINEALES

UNIVERSIDAD TECNICA DE COTOPAXI

Nombre: Karina Mendoza

SISTEMAS DE OPERACIONES LINEALES

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

$\left \{ \begin{array}{rcrcrcr} 3 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & \,x_3 & = & 1 \\ 2 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & 4 \,x_3 & = & -2 \\ - \,x_1 & + & \frac{1}{2} \,x_2 & - & \,x_3 & = & 0 \end{array} \right .$

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

$\begin{matrix} a_{11}x_1 & + a_{12}x_2 & + \dots & + a_{1n}x_n & = b_1 \\ a_{21}x_1 & + a_{22}x_2 & + \dots & + a_{2n}x_n & = b_2 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}x_1 & + a_{m2}x_2 & + \dots & + a_{mn}x_n & = b_m \end{matrix}$

Donde $x_1,\dots,x_n\,$ son las incógnitas y los números $a_{ij}\in\mathbb{K}$ son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo $\mathbb{K}\ [= \R, \mathbb{C}, \dots]$ . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

Sistemas lineales reales

En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo $\R$ , es decir, los sistemas lineales en los coeficientes de las ecuaciones son números reales.

La intersección de planos que son planoque no son paralelos ni coincidentes es una recta.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.

Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

jueves, 8 de diciembre de 2011

OPERACIONES CON POLINOMIOS

UNIVERSIDAD TECNICA DE COTOPAXI

NOMBRE: KARINA MENDOZA

OPERACIONES CON POLINOMIOS

SUMA DE POLINOMIOS

En matemáticas , se le llama polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es un producto de un coeficiente y una variable elevado a un número natural, que se llama el exponente del monomio.

Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x². Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.

Dados los polinomios $\scriptstyle P(x),\ Q(x),\ R(x)$ , de la forma general:

$P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^{2} + a_3 x^{3} + \dots + a_n x^n \,$

o de forma compacta mediante el Sumatorio de los términos del polinomio:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$

podemos definir como operaciones con polinomios, las operaciones aritméticas o algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, según la operación de que se trate.
Partiendo de un polinomio $\scriptstyle P(x)$ , el cálculo del valor numérico que ese polinomio toma para un valorconcreto de $\scriptstyle x$ , $\scriptstyle x\ =\ b$ , se obtiene sustituyendo la variable

x

del polinomio por el valor

b

y se realizan las operaciones. El resultado de

P (b)

es valor numérico del polinomio para $\scriptstyle x\ =\ b$ . En el caso general:

$P(x) = a_0 x^{0} + a_1 x^{1} + \cdots + a_n x^n$

tomará un valor para

x = b

, de:

$P(b) = a_0 b^{0} + a_1 b^{1} + \cdots + a_n b^n$

Ejemplo:

Dado el polinomio:

$P(x) = 3 x^{2} - 4x + 5 \;$

cual es su valor para

x = 2

, sustituyendo x por su valor, tenemos:

$P(2) = 3\cdot 2^{2} - 4\cdot 2 + 5$

Con el resultado de:

$P(2) = 9 \;$

RESTA DE POLINOMIOS
Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la suma. En la EXPLICACIÓN de cada ejemplo lo mostraré resuelto de las tres maneras.

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x² + x −

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Partiendo de un polinomio P(x), el producto de este polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes de los del polinomio se ha multiplicado por k.
Si el polinomio es:

Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicación de potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos de las dos maneras.

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \, x^{i}$

Y lo multiplicamos por k:

$k \cdot P(x) = k \cdot \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \, x^{i}$

Dando lugar a:

$k \cdot P(x) = \sum_{i = 0}^{n} k \cdot a_{i} \, x^{i}$

Ejemplo:

Partiendo del polinomio:

$P(x) = 2 \, x^{4} + 5 \, x^{3} - 6 \, x^{2} + 7 \, x + 1$

Lo multiplicamos por 3,

$3 \cdot P(x) =3 \cdot ( 2 \, x^{4} + 5 \, x^{3} - 6 \, x^{2} + 7 \, x + 1)$

Operando con los coeficientes:

$3 \cdot P(x) =( 3 \cdot 2) \, x^{4} + ( 3 \cdot 5) \, x^{3} - ( 3 \cdot 6) \, x^{2} + ( 3 \cdot 7) \, x + ( 3 \cdot 1)$

Y tenemos como resultado:

$3 \cdot P(x) = 6 \, x^{4} + 15 \, x^{3} - 18 \, x^{2} + 21 \, x + 3$

esta operación también puede expresarse del siguiente modo:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & 2x^4 & +5x^3 & -6x^2 & +7x & +1 \\ \times & & & & & 3 \\ \hline & 6x^4 & +15x^3 & -18x^2 & +21x & +3 \end{array}$

DIVICION DE POLINOMIOS
La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética, así hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) que podemos representar:

$P(x) \,$		$Q(x) \,$
$R(x) \,$		$C(x) \,$

tal que:

$P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,$

dividendo = divisor × cociente + resto

El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).

ejemplo:

veamos un ejemplo para:

$P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, x - 3\;$

$Q(x) = x^{2} - 2 \, x - 1 \;$

que para la realización de la división representamos:

$\begin{array}{rl} \begin{array}{rrrrr} 3x^4 & -2x^3 & +4x^2 & +2x & -3 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrr} x^2 & -2x & -1 \\ \hline \end{array} \end{array}$

como resultado de la división finalizada:

$\begin{array}{rl} \begin{array}{rrrrr} 3x^4 & -2x^3 & +4x^2 & +2x & -3 \\ -3x^4 & +6x^3 & +3x^2 & & \\ \hline 0 & 4x^3 & +7x^2 & +2x & -3 \\ & -4x^3 & +8x^2 & +4x & \\ \hline & 0 & 15x^2 & +6x & -3 \\ & & -15x^2 & +30x & +15 \\ \hline & & & +36x & +12 \end{array} & \begin{array}{|rrr} x^2 & -2x & -1 \\ \hline 3x^2 & +4x & +15 \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \end{array} \end{array}$

kary